薛定谔方程LaTeX：含时与定态两种形式的源码

薛定谔方程LaTeX源码分两种：含时方程写成 i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\hat{H}\Psi 这一类，定态方程去掉对时间的偏导，写成「哈密顿量作用在 ψ 上等于 Eψ」。两者用到的命令几乎相同，只有四个要记：约化普朗克常数 \hbar、偏导符号 \partial、拉普拉斯算符 \nabla^{2}、大小写两种波函数 \Psi 与 \psi。下面先给速查表，再给三段可以直接复制的完整源码，每段后面写清按教材记号要改哪几处。

速查表：方程里每个符号的写法

表里第 1、2、3 行是最常见的出错位置：ħ 被写成普通 h，偏导被写成 d，∇² 漏掉平方。粗体的位置矢量 r 也常被写成普通斜体 r，一维问题里这样写没关系，三维方程里建议统一用 \mathbf{r}，读者一眼能看出它是矢量。

用法：三段完整源码

含时薛定谔方程（三维）

左边是虚数单位、ħ 与对时间的偏导三者相乘，右边是哈密顿量作用在同一个波函数上。哈密顿量展开成动能项加势能项，方括号用 \left[ … \right] 包住，高度会跟着里面的分式变。自变量 (r, t) 两边都写，读者能看清这是一个同时依赖位置与时间的函数：

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\mathbf{r},t)\right]\Psi(\mathbf{r},t)

要改的地方：教材只写 Ψ 不写自变量时，把两处 (\mathbf{r},t) 删掉；想写成算符的紧凑形式，把整个方括号换成 \hat{H}。

定态薛定谔方程

势能不随时间变时，把波函数写成空间部分乘时间因子，就得到定态方程。先是分离变量那一行：

\Psi(\mathbf{r},t)=\psi(\mathbf{r})\,e^{-iEt/\hbar}

代回含时方程，两边消去时间因子：

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})

指数上的 -iEt/\hbar 用斜杠而不用 \frac，是为了让上标保持一行高，读起来不挤。

一维定态方程

一维势阱、谐振子这类题目只有一个坐标 x，偏导换成普通导数，二阶导数写成分式：

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d}^{2}\psi}{\mathrm{d}x^{2}}+V(x)\psi=E\psi

这里的 d 用 \mathrm{d} 排成直立体，是国内物理教材常见的写法；习惯斜体的，直接写 d 也可以，全文统一就行。

如果需要把拉普拉斯算符在直角坐标下展开：

\nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

常见错误：写错会怎样、怎么改

• ħ 写成 h：数值差了 2π 倍，物理上是错的。改成 \hbar。
• 偏导写成 d：含时方程里 Ψ 同时依赖位置和时间，对 t 求的是偏导，必须用 \partial。
• 方括号不随内容变高：直接写 [ 和 ] 时，括号比里面的分式矮一截；换成 \left[ 与 \right]。
• 二阶偏导的 2 放错位置：分子写 \partial^{2}，分母写 \partial x^{2}，平方在 x 上而不是在 ∂ 上。
• 大小写波函数混用：同一篇里含时用 Ψ、定态用 ψ，前后不要换。

谐振子这道题只差一步：把一维方程里的 V(x) 写成 ½mω²x²，也就是 \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}，其余部分原样保留。

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