傅里叶变换公式LaTeX：正逆变换与常用变换对源码

傅里叶变换公式LaTeX的核心就两行：正变换是 f(t) 乘以 e 的负 jωt 次方、从负无穷积到正无穷；逆变换指数上换成正号，前面多一个 1/2π。最容易写错的三处是指数上的负号、虚数单位 j 与 i 的选择、积分上下限的无穷写法。下面先给速查表，再给正逆变换和常用变换对的完整源码，每段写清改哪里。

速查表：变换式里每一块的写法

指数必须整体放进花括号：e^-j\omega t 只会把负号当上标，后面的 jωt 掉回正常高度。

动笔前先确认课程用的是哪一种自变量：按角频率 ω 写，逆变换前有 1/2π；按频率 f 写，指数里多一个 2π、两边都没有系数；还有的教材把 1/√(2π) 对称地分到正逆两式前面。三种都对，但一篇笔记只能选一种，下面的源码按信号与系统课最常见的角频率写法给出。

用法：正变换与逆变换

按角频率 ω 写的正变换如下。源码里 f(t) 与 e 之间、e 与 dt 之间各加一个 \,，三部分之间留出细空隙，读起来不会连成一串，打印出来也更清楚：

F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t

逆变换把指数的负号去掉，前面乘 1/2π，积分变量换成 ω：

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\,e^{j\omega t}\,\mathrm{d}\omega

要改的地方：数学教材用 i 的，把两处 j 换成 i；有的教材把函数写成 F(jω)，把左边改成 F(j\omega) 即可，右边不变。

按频率 f（单位 Hz）写时，指数里多一个 2π，逆变换前就不再有 1/2π，两式是对称的：

X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,e^{-j2\pi ft}\,\mathrm{d}t

用法：常用变换对

变换对一行一个，用 \leftrightarrow 连接两边。下面六对是信号与系统课最常用的，可以整段复制：

\begin{array}{ll}
\delta(t)\leftrightarrow 1 & 1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)\\
e^{-at}u(t)\leftrightarrow \dfrac{1}{a+j\omega}\ (a>0) & e^{-a|t|}\leftrightarrow \dfrac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}\\
e^{j\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0) & \cos\omega_0 t\leftrightarrow \pi\left[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)\right]
\end{array}

改法：array 后面的 {ll} 表示两列都左对齐，想一行一对就改成 {l}，并把每行中间的 & 换成 \\。分式在表格里默认会缩小，所以这里用 \dfrac 保持正常大小。宽度为 τ、高度为 1 的矩形脉冲对应 τSa(ωτ/2)，需要时照同样格式加一行。

常见错误

下面五条都是排出来能一眼看出、但写的时候不容易注意的地方，检查时逐条对照。

• 正逆变换的符号写反：正变换是负号、逆变换是正号。少数物理教材约定相反，以所用教材为准，但一篇里必须一致。
• 花括号没转义：\mathcal{F}{f(t)} 里的花括号只起分组作用，排出来看不见；要显示花括号写 \{ 和 \}。
• 无穷写成 oo 或 ∞ 字符：用 \infty，正无穷前的加号可写可不写。
• d 前面没有空隙：f(t)dt 挤在一起不易读，在 d 前加 \,。
• 把 ω 写成 w：拉丁字母 w 和希腊字母 ω 在手写里很像，源码里要写 \omega，下标里的 ω₀ 写成 \omega_0。

六对变换对里，e⁻ᵃᵗu(t) 与 e⁻ᵃ|ᵗ| 两行最容易互相抄错：一个是单边衰减、分母一次；一个是双边衰减、分母是平方和。

延伸阅读

• LaTeX常用公式模板：分式、积分、矩阵等结构的现成源码
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