Black-Scholes公式LaTeX：N(d1)与根号的源码写法

Black-Scholes公式LaTeX要写三行：看涨期权价格 C = S₀N(d₁) − Ke⁻ʳᵀN(d₂)，以及 d₁、d₂ 两个辅助量。写法上的要点只有四个：N(·) 用普通圆括号、d₁ 的分母写 \sigma\sqrt{T}、自然对数用 \ln 排成直立、d₁ 分子里的括号用 \left( … \right) 包住 σ²/2。下面先给速查表，再给可以直接复制的完整源码和每段的改法。

速查表

三行公式里真正要动脑的只有 d₁：它的分子是对数项加一个带括号的项，分母是 σ√T，三层嵌套都要用花括号分清。其余两行都是字母与下标的直接拼接，照表写不会错。

记号以常见的教材写法为准：有的书把当前价格写成 S，把期限写成 T−t，改字母即可，结构不变。

用法：三段完整源码

看涨与看跌期权价格

看涨期权价格由两项相减得到：前一项是标的价格乘 N(d₁)，后一项是行权价的贴现值乘 N(d₂)。源码里 N 和 d 之间不用加空格，也不用乘号，S₀ 与 N 之间同样直接相连，排出来就是乘积：

C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

看跌期权把 N 里的自变量取负，前后两项换位置：

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)

d₁ 与 d₂

d_1=\frac{\ln(S_0/K)+\left(r+\frac{\sigma^{2}}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

要改的地方：期限用 T−t 的，d₁、d₂ 里的三处 T（含根号里的）和 C、P 两式贴现因子里的 T 都要换成 (T-t)，贴现因子写成 e^{-r(T-t)}；有分红率 q 的版本，把 r+ 改成 r-q+，并在 C 式的 S₀ 后面乘 e^{-qT}。

N(·) 本身的定义

论文里第一次出现 N 时，常顺手给出它的定义。积分上限是自变量 x，积分变量换成 t，避免同一个字母出现两次：

N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-t^{2}/2}\,\mathrm{d}t

指数里的 t²/2 用斜杠，是为了让上标保持一行高。

代一组数核对

写完源码后，拿一组数代进去能发现漏写的项。取 S₀ = 100、K = 100、r = 0.05、σ = 0.2、T = 1：d₁ = (0 + 0.07) / 0.2 = 0.35，d₂ = 0.15；查表 N(0.35) ≈ 0.6368、N(0.15) ≈ 0.5596，于是 C ≈ 100 × 0.6368 − 100 × e⁻⁰·⁰⁵ × 0.5596 ≈ 10.45。结果对得上这组参数的常见算例，说明式子里没有漏项。

常见错误

• ln 没加反斜杠：直接写 ln 会排成斜体的 l 和 n，像两个变量相乘；改用 \ln。
• 括号不随分式变高：(r+\frac{\sigma^{2}}{2}) 的括号比 σ²/2 矮，换成 \left( 与 \right)。
• 根号只盖住一半：\sqrt T 能用，但写成 \sqrt{T-t} 时必须加花括号，否则根号只盖住 T。
• 贴现因子上标断开：e^-rT 只会把负号放进上标，写成 e^{-rT}。
• N 写成花体或粗体：N(·) 就是普通大写 N，有的教材写成 Φ，用 \Phi 即可，不必套 \mathcal。

论文里三行公式通常连在一起出现，写成三个独立的公式块并各自编号，引用时比挤在一个块里清楚。

有分红的版本改动最多：d₁ 分子里的 r 变成 r−q，C 式里的 S₀ 后面多乘 一个 e 的 −qT 次方，看跌式里也要同步改。

延伸阅读

• LaTeX常用公式模板：分式、根号、积分等结构的现成源码
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